共轭复根-高等数学入门——两类二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法

系列简介：这个系列文章讲解高等数学的基础内容，注重学习方法的培养，对初学者不易理解的问题往往会不惜笔墨加以解释。在内容上，以国内的经典教材”同济版高等数学“为蓝本，并对具体内容作了适当取舍与拓展。例如用ε-δ语言证明函数极限这类高等数学课程不要求掌握的内容，我们不作过多介绍。本系列文章适合作为大一新生初学高等数学时的课堂同步辅导，也可作为高等数学期末复习以及考研第一轮复习时的参考资料。阅读更多“高等数学入门”系列文章，欢迎关注数学若只如初见！

本节开始介绍二阶常系数非齐次线性微分方程的解法，由线性微分方程解的结构可知，其关键是求出非齐次方程的一个特解，本节我们来对两种特殊类型的非齐次方程，介绍其特解的计算方法。（由于公式较多，故正文采用图片形式给出。）

一、概述。

关于线性微分方程解的结构的相关知识见下文：

二、求方程特解的待定系数法。（这两种方法的论证过程涉及大量繁琐计算，而且启发性不强，我们就不介绍了，感兴趣的读者可以参考任何一本“标准的”高等数学教材。）

三、第一类二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法。（初学者注意熟悉这里各种符号的含义，比如P(x)表示多项式，其下标m表示该多项式的次数。）

四、第一类方程求特解举例。

五、第二类二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法。（注意二次方程的共轭复根必定“成对”出现，因此复根不可能是重根。）

六、第二类方程求特解举例。

七、一个考研题目。（由本节前两个例题不难看出，用待定系数法求特解的计算量较大，因此考研数学中通常作为小题考查特解的设法。）

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