电力系统是高维时变的本质非线性系统，现有的分析方法几乎无法反映故障场景、保护装置与控制措施等时变及非线性因素对低频振荡的影响。为了正确分析复杂电力系统的振荡特性并有效抑制低频振荡，迫切需要开发全新的分析算法。文章提出的轨迹断面特征根（TSE）方法，首先针对给定故障场景，通过数值仿真获取系统的时间响应；然后沿着给出的受扰轨迹，用代数变量的实际值分段代入微分方程，就可以采用分时段不断更新代数变量的线性常微分方程组（ODE）来替代原来时变的微分代数方程组（DAE）。在此基础上提出分时段的瞬时特征分析方法，从微观视角研究非线性时变因素对电力系统振荡的影响，提出非平衡点处强非线性以及危险特征模式的辨识方法，如实反映振荡特征，并揭示复杂现象的机理。
TSE方法
TSE方法沿积分轨迹进行电力系统动态模型的分段线性化，通过断面状态矩阵的特征根逐步分析时变振荡特性，如图1所示。
图1原点特征根与TSE的求解示意图
本文研究了如何从TSE序列中提取信息。在非线性振荡中，主导的特征模式可能发生变化，特征根的性质与数值也会时变。因此，对于瞬时振荡特性的描述，不是确定性地跟踪某一个或几个特征模式，而是关注整个研究时段内的主导特征模式。在一段时间内TSE序列能够复现轨迹的全部动态行为，特殊地，如果某一个或几个特征模式持续或交替地占据主导地位，未来真正主导的特征模式可能就隐藏在其中。
受到非线性因素影响的运行点以及主导的特征模式
振荡过程中随着实际运行点偏离平衡点，系统振荡行为可能与原点特征根完全不同。
1)某些特征模式可逆地从一对共轭复根转化为两个实根。本文在经典模型的单机无穷大系统中研究了该现象的机理，并讨论了如何应用TSE方法描述电力系统本质非线性因素的影响。
2)振荡收敛场景中某些特征模式可能在一些时段内表现出负阻尼，振荡发散场景中危险的特征模式也不是一成不变的。基于原点线性化模型分析得到的关键模式可能只对平衡点邻域有效，在实际振荡中并不是真正的主导模式，真正危险的特征模式可能随时间演化产生。
3)本文应用TSE方法从机理上演绎了特征模式的演化过程，并提出判据辨识受非线性因素影响较强的运行点以及任意时刻占据主导地位的特征模式。
原点特征根与TSE
以经典IEEE 3机9节点系统（发电机加装调速器）为例，本文比较了系统运行点靠近以及远离平衡点时，原点特征根与TSE方法各自对振荡行为的描述。
1)实际运行点在平衡点邻域的振荡场景
对系统施加较小扰动使得运行点停留在平衡点邻域，观察到系统陷入弱阻尼的低频振荡，从发电机功角的时域功角轨迹中容易辨识出两个主要的振荡频率。求解得到扰动场景1中的TSE轨迹如图 2所示，其对振荡特性的描述与原点特征根基本一致（详细分析见论文4.1.1节）。
图2扰动场景1中TSE轨迹
2)实际运行点远离平衡点的振荡场景
对系统施加较大扰动使得运行点偏离平衡点，观察到系统从弱阻尼振荡到负阻尼振荡的演化过程，原点特征分析结果难以描述该过程。相对应的，求解得到扰动场景2中的TSE轨迹如图 3所示，可见本文方法更好地描述了电力系统的时变振荡特性（详细分析见论文4.1.2节）。
图3扰动场景2中TSE轨迹
特征模式随时间的变化
以IEEE 10机39节点系统为例，本文演示了如何应用TSE方法辨识主导的特征模式。
如图 4所示，振荡前期（0至3 s）G39相对其他发电机的运动占主导，振荡后期（3 s至同步失稳）G39与其他发电机趋于同调，G34相对其他发电机的运动成为主导模式。
图4 IEEE 10机39节点系统受扰后各发电机功角轨迹
振荡过程中，在调速器的作用下平衡点不断变化且运行点偏离其邻域。该算例中主导特征模式发生了改变，原点特征分析只能辨识出振荡前期占主导的特征模式，本文提出的方法则能够准确描述各个时段占主导的特征模式（详细分析见论文4.2节）。
讨论与展望
1)TSE方法在任一分析步内忽略断面初始动能的影响，已有文献论证了其合理性，本文不再讨论该问题。
2)电力系统振荡过程中，主导特征模式与瞬时振荡特征均可能是时变的。对于确定扰动场景的待分析算例，TSE方法能够用一组序列来描述其时变振荡特性，实现对电力系统振荡演化机理的研究。
3) 本文研究系统受到扰动后的振荡问题，沿轨迹的不同时间断面提取振荡特征，从不同的断面把特征分析法与数值积分轨迹结合到一起，将特征根的概念从原点拓展到任意时间断面。本文讨论了振荡失稳的演化过程，但并没有从大扰动的角度去分析暂态稳定性。
作者介绍
宾子君：山东大学电气工程学院博士研究生，主要研究方向：电力系统动态分析与控制。
薛禹胜：中国工程院院士，国网电力科学研究院有限公司名誉院长，主要研究方向：非自治非线性动力系统稳定性、电力系统动态分析与控制、实验经济学在电力与能源市场中的应用。
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